Великая Отечественная война застала семью Кощеевых в Башкирии. Борис был вторым сыном в многодетной семье.
С 1940 года вместе с отцом начал работать в колхозе. В 1946 году Бориса Михайловича, тогда пятнадцатилетнего мальчишку, наградили медалью “За доблестный труд во время Великой Отечественной войны 1941-1945 годов”.
Несмотря на то, что отец вернулся с фронта больным, детям старались дать образование. В 1948 году Б. М. Кощеев окончил среднюю школу и поступил в Свердловский медицинский институт. В 1954 году он стал выпускником санитарно-гигиенического факультета. Б. М. Кощеев приехал по распределению врачом-инфекционистом в Верхнюю Салду.
Борис Михайлович много работал, чтобы стать высоко профессиональным врачом. Его талант доктора был признан, пациенты его полюбили.
Б. М. Кощеев тридцать четыре года руководил инфекционным отделением Верхнесалдинской центральной городской больницы. Был заведующим городским отделом здравоохранения, однако, работа врача привлекала его больше.
Он беззаветно отдавал себя благородному делу сохранения здоровья людей в борьбе с инфекционными болезнями.
Много и упорно работал над повышением своего профессионального мастерства. Регулярно учился на курсах повышения квалификации, и с 1980 года ему присвоена высшая категория врача-инфекциониста, которую он подтверждал на протяжении многих лет.
Борис Михайлович награжден орденом “Знак почета”.
В 1998 году постановлением главы муниципального образования “Верхнесалдинский район” и городской Думы Б. М. Кощееву присвоено звание “Почетный гражданин города Верхняя Салда”.